CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

Debido a que el proceso de obtener toda la información relevante a una población particular es difícil y en muchos casos imposible de obtener, se utiliza una muestra para estimar la información necesaria para la toma de decisiones.


Muestra (n) → inferencia → Población
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X = 8 estimado de μ = 7.5


Tomemos por ejemplo una compañía cualquiera. Si la empresa desea introducir un nuevo producto al mercado, sería absurdo pretender que toda la población pruebe el producto. En este caso, se da a probar el producto a una muestra de consumidores y con base a los resultados de esa muestra se decide si el producto se elabora o no.
Ahora bien, como los resultados obtenidos a partir de una muestra difieren de los resultados que se obtendrían si se observara la población total o universo, existe un riesgo al tomar la decisión. Es en este caso que se utiliza la PROBABILIDAD como una medida de riesgo.

Definiciones básicas:

Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.

Espacio Muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muéstrales.

Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }

Punto muestral: son todos los elementos que contiene el espacio muestral y son los distintos resultados del experimento.

Si consideramos el conjunto de las partes de (P(S)) sus elementos son los sucesos. Un suceso, por tanto, es un subconjunto del espacio muestral.
Existen dos tipos de sucesos:
* Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto muestral.
* Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del espacio muestral. Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral o unión de sucesos simples.

Evento: Es el resultado de un experimento.
Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.

Evento Simple (E). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado
A = { evento que salga un # impar }
A = { 1, 3, 5 }
B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.


4.2.2 Unión de dos eventos. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos de A, de B o de ambos.

A ∪ B = C {x / x, A, x, B o x, a ambos}

Intersección de dos conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.

A ∩ B = C {x / x , A y x , B}



Complemento de un evento. El complemento de un conjunto A que se denota por Ac es el evento que consta de todos los resultados en el espacio muestral que no están contenidos en A.

Ac = {x ∈ S x ∉ A}
Ac + A = S

Eventos mutuamente excluyentes: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes.

A ∩ B = {Φ}







Eventos dependientes e independientes:
Eventos dependientes: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que AB no es una fracción.
P (AB) = P(A y B)/P (B) o P (BA) = P(A y B)/P(A)

Eventos independientes: Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P (B/A) = P (B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.
4.2.3 ENFOQUES DE PROBABILIDAD

Probabilidad clásica a priori: en la cual la probabilidad de un evento se basa en el conocimiento del proceso involucrado. Desde este enfoque, y cuando existe igual probabilidad para todos los posibles resultados del proceso, la probabilidad de ocurrencia de un resultado o un evento de interés, se define como
N total de resultados posibles/N veces que puede ocurrir el evento de interés
Enfoque de frecuencia relativa: Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.
No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.
A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.
Enfoque subjetivo: Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos. El enfoque señala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta.
Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.
Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.
4.3 TECNICAS DE CONTEO
El análisis de los problemas de probabilidad se facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglos de los datos.
Factorial de un número: El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Por ejemplo, 5! = 5•4•3•2•1 = 120
Principio de la multiplicación: Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será,
(n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)

Principio de la adición: Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇB =Æ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.

Permutaciones (P). Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.

n = # de datos r = grupo tomado de n (r < n)
combinaciones: Número de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintos sin importar el orden ( juego de póker, ej.)
NCn = N! / n! ( N – n ) !


4.4 PROBABILIDAD

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Probabilidad simple: Analiza la probabilidad de que ocurra un suceso A en un espacio muestral E. Si la naturaleza del experimento permite considerar a cada uno de los resultados como “igualmente probables” diremos que: La probabilidad simple de un suceso es el cociente del número de casos favorables por el número de casos posibles.


Esta fórmula sólo es aplicable si el espacio muestral es finito y si todos los sucesos elementales son igualmente probables.
Un indicador de que todos los sucesos elementales del espacio muestral considerado son igualmente probables es la frase “al azar”.